MATHÉMATIQUES · CINQUIÈME

FRACTIONS - INTRODUCTION

Les fractions, c'est mystérieux... mais pas sorcier !

Tu as peut-être déjà vu cette drôle de chose : \(\frac{15}{3}\)

Et là, tu t'es dit :

"Est-ce que c'est une date ? Un score de match ? Un casse-tête ?"

En réalité, \(\frac{15}{3}\), c'est juste une autre façon d'écrire une division.

Et ça, c'est génial, parce que ça nous permet de faire des maths autrement, plus simplement, plus joliment parfois… et surtout, ça nous sauve dans plein de situations ! Il faut juste apprendre à jouer avec.

Mais attends… tu te souviens comment on faisait une division, avant qu'on ne parle de fractions ?

➡️ 15 divisé par 3, ça s'écrit aussi \(\frac{15}{3}\).
➡️ On lit : "15 sur 3" ou "quinze tiers"

Rappel de la division euclidienne

Imaginons que t'as 15 bonbons et que tu veux les partager entre 4 personnes.

Tu poses la question :

"Combien de bonbons chacun peut avoir, en parts égales, sans couper les bonbons ?"

Le 15, c’est ce qu’on appelle le dividende → c’est la quantité qu’on veut partager.

Le 4, c’est le diviseur → c’est le nombre de parts égales (ici, 4 personnes).

On cherche le quotient, c’est-à-dire combien de bonbons chaque personne peut recevoir sans couper. ➤ Ici, 4 rentre 3 fois dans 15 → donc le quotient est 3.

Il reste 3 bonbons qui ne rentrent pas dans le partage → donc le reste est 3

Tu viens de faire une division euclidienne ! Et tu peux l'écrire comme ça :

15 = 4 × 3 + 3

Algorithme de la division euclidienne

La division euclidienne te donne la partie entière du partage.
Mais… si tu veux partager les bonbons restants, t'es obligé de couper… et c'est là que la fraction arrive comme une héroïne. 🦸‍♀️

Dans notre exemple :

15 ÷ 4 = 3 et il reste 3 à partager

➡️ On écrit ça :

\(\frac{15}{4} = 3 + \frac{3}{4}\)

Et voilà comment la fraction complète le travail de la division euclidienne. Elle permet de continuer le partage, même quand il reste des miettes !

Exemple guidé pas à pas : 87 ÷ 5

On pose la division

\[ \begin{array}{r|l} \ 87 & \underline{ 5} \\ \ \phantom{85} & \\ \ \phantom{02} & \end{array} \]

On regarde le premier chiffre

Le premier chiffre du dividende est 8.

8 est plus grand que 5, on peut commencer !

\[ \begin{array}{r|l} \ \textcolor{red}{8}7 & \underline{ 5} \\ \ \phantom{85} & \\ \ \phantom{02} & \end{array} \]

On cherche le premier chiffre du quotient

Par quel chiffre multiplier 5 sans dépasser 8 ?

➡️ 5 × 1 = 5 → ça passe
➡️ 5 × 2 = 10 → trop grand !

On écrit 1 comme premier chiffre du quotient

\[ \begin{array}{r|l} \ \textcolor{red}{8}7 & \underline{ 5} \\ \ \phantom{85} & \textcolor{green}{1} \\ \ \phantom{02} & \end{array} \]

On soustrait

On calcule 5 × 1 = 5 et on soustrait à 8

\[ \begin{array}{r|l} \ \textcolor{red}{8}7 & \underline{ 5} \\ \ \underline{-\textcolor{red}{5}}\phantom{1} & 1 \\ \ \textcolor{blue}{3} \phantom{0}& \end{array} \]

8 - 5 = 3

On descend le chiffre suivant

On descend le 7 à côté du 3

\[ \begin{array}{r|l} \ 87 & \underline{ 5} \\ \ \underline{-5}\phantom{1} & 1 \\ \ 3\textcolor{red}{7} & \end{array} \]

On obtient 37

On cherche le deuxième chiffre

Combien de fois 5 dans 37 ?

➡️ 5 × 7 = 35 → ça passe
➡️ 5 × 8 = 40 → trop grand !

\[ \begin{array}{r|l} \ 87 & \underline{ 5} \\ \ \underline{-5}\phantom{1} & 1\textcolor{green}{7} \\ \ 37 & \end{array} \]

Dernière soustraction

On calcule 5 × 7 = 35 et on soustrait à 37

\[ \begin{array}{r|l} \ 87 & \underline{ 5} \\ \ \underline{-5}\phantom{1} & 17 \\ \ 37 & \\ \ \underline{-\textcolor{red}{35}} & \\ \ \textcolor{blue}{2} & \end{array} \]

37 - 35 = 2 : c'est notre reste !

Les éléments de la division

\[ \begin{array}{r|l} \ \textcolor{#4299E1}{87} & \underline{\textcolor{#48BB78}{5}} \\ \ \underline{-5}\phantom{1} & \textcolor{#ED64A6}{17} \\ \ 37 & \\ \ \underline{-35} & \\ \ \textcolor{#F6AD55}{2} & \end{array} \]

Dividende Le nombre à diviser (87)

Diviseur Le nombre par lequel on divise (5)

Quotient Le résultat de la division (17)

Reste Ce qu'il reste à la fin (2)

On vérifie : Dividende = (Diviseur × Quotient) + Reste

87 = (5 × 17) + 2 ✓

Le savais-tu ?

Les fractions étaient déjà utilisées par les Égyptiens il y a plus de 4000 ans ! Ils s'en servaient notamment pour partager les terres après les crues du Nil.

À toi de jouer !

Pose et effectue la division euclidienne :

Calcule 156 ÷ 7

Quotient :

Reste :

💡 Aide-toi des étapes vues précédemment :

Pose la division
Regarde le premier chiffre (1)
Cherche combien de fois 7 dans 15
Continue avec le dernier chiffre

Division avec reste :

Effectue 235 ÷ 8

Quotient :

Reste :

💡 N'oublie pas :

Le reste doit être plus petit que le diviseur
Vérifie ton résultat avec : Dividende = (Diviseur × Quotient) + Reste

Défi :

Trouve le quotient et le reste de 427 ÷ 12

Quotient :

Reste :

💡 Astuce :

42 dizaines = 420
Commence par chercher combien de fois 12 dans 42
Puis ajuste avec le 7 des unités

Division par 6 :

Calcule 134 ÷ 6

Quotient :

Reste :

💡 Astuce :

6 = 2 × 3
130 ÷ 6 = ?
Puis gère les 4 unités

Division par 8 :

Effectue 182 ÷ 8

Quotient :

Reste :

💡 Décompose le problème :

160 ÷ 8 = 20
Reste 22 à diviser
22 = (8 × 2) + 6

Division par 7 :

Calcule 153 ÷ 7

Quotient :

Reste :

💡 Pense aux tables :

15 dizaines = 150
150 ÷ 7 ≈ 21
Vérifie avec les 3 unités

Division par 9 :

Trouve le quotient et le reste de 167 ÷ 9

Quotient :

Reste :

💡 Astuce :

160 ÷ 9 = ?
Reste 7 à gérer
Vérifie : 18 × 9 = 162

Division par 12 :

Effectue 245 ÷ 12

Quotient :

Reste :

💡 Astuce pour 12 :

12 = 3 × 4
240 ÷ 12 = 20
Reste 5 unités

Division par 15 :

Calcule 215 ÷ 15

Quotient :

Reste :

💡 Stratégie :

15 = 5 × 3
210 ÷ 15 = 14
Reste 5 à gérer

Division finale :

Trouve le quotient et le reste de 286 ÷ 14

Quotient :

Reste :

💡 Décomposition :

14 = 2 × 7
280 ÷ 14 = 20
Reste 6 unités

Prêt à commencer l'aventure ?

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