Leçon : Racine Carrée

1. Définition

La racine carrée d'un nombre réel positif \(a\) est le nombre positif \(x\) tel que :

\[ x^2 = a \]

On note cette valeur \(\sqrt{a}\).

Important : Seuls les nombres positifs ou nuls ont une racine carrée dans l'ensemble des nombres réels.

Par exemple : \(\sqrt{-4}\) n'existe pas dans les réels car il n'existe aucun réel \(x\) tel que \(x^2 = -4\).

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}, \quad \text{pour } a, b \geq 0

Exemple : \(\sqrt{9 \times 4} = \sqrt{9} \times \sqrt{4} = 3 \times 2 = 6\)

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \quad \text{pour } a, b > 0

Exemple : \(\sqrt{\frac{16}{4}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2\)

(\sqrt{a})^2 = a

Exemple : \((\sqrt{7})^2 = 7\)

Si un nombre est un produit de facteurs dont l'un est un carré parfait, on peut extraire ce carré parfait de la racine.

Pour rationaliser un dénominateur contenant une racine carrée, on multiplie numérateur et dénominateur par cette même racine.

\frac{5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}